Numerojärjestelmät

Numerojärjestelmä on joukko sääntöjä numeroiden esittämiseksi eri numeromerkkejä käyttäen. Numerojärjestelmät luokitellaan kahteen tyyppiin: ei-sijaintiin ja sijaintiin.

Paikkanumerojärjestelmissä kunkin numeron arvo ei riipu sen paikasta, toisin sanoen sen paikasta numerojoukossa. Roomalaisessa numerojärjestelmässä on vain seitsemän numeroa: yksi (I), viisi (V), kymmenen (X), viisikymmentä (L), sata (C), viisisataa (D), tuhat (M). Näitä lukuja (symboleita) käyttämällä loput luvut kirjoitetaan yhteen- ja vähennyslaskulla. Esimerkiksi IV on luvun 4 (V - I) merkintä, VI on numero 6 (V + I) ja niin edelleen. Numero 666 on kirjoitettu roomalaisessa järjestelmässä seuraavasti: DCLXVI.

Tämä merkintätapa on vähemmän kätevä kuin tällä hetkellä käyttämämme. Tässä kuusi on kirjoitettu yhdellä symbolilla (VI), kuusi kymmeniä toisella (LX), kuusisataa ja kolmas (DC). On erittäin vaikeaa suorittaa aritmeettisia operaatioita roomalaisella numerojärjestelmällä kirjoitetuilla numeroilla. Ei-paikannusjärjestelmien yleinen haittapuoli on myös riittävän suurien lukujen esittämisen monimutkaisuus niissä niin, että tuloksena on erittäin hankala merkintä.

Tarkastellaan nyt samaa numeroa 666 paikkalukujärjestelmässä. Siinä yksittäinen merkki 6 tarkoittaa ykkösten lukumäärää, jos se on viimeisellä paikalla, kymmenien lukumäärää, jos se on toiseksi viimeisellä paikalla, ja satojen määrää, jos se on kolmannella sijalla lopusta. Tätä numeroiden kirjoittamisen periaatetta kutsutaan sijaintipaikalliseksi (paikalliseksi). Tällaisessa tallenteessa jokainen numero saa numeerisen arvon, joka ei riipu pelkästään sen tyylistä, vaan myös siitä, missä se on numeroa kirjoitettaessa.

Paikkalukujärjestelmässä mikä tahansa luku, joka esitetään muodossa A = +a1a2a3 … ann-1an, voidaan esittää summana

missä n — äärellinen määrä numeroita luvun kuvassa, ii luku i-go-numero, d — numerojärjestelmän kanta, i — luokan järjestysnumero, dm-i — i-ro-luokan "paino" . Numeroiden ai on täytettävä epäyhtälö 0 <= a <= (d — 1).

Desimaalimuodossa d = 10 ja ai = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Koska ykkösistä ja nollista koostuvat luvut voidaan yhdessä käytettäessä havaita desimaali- tai binääriluvuiksi, numerojärjestelmän kanta on yleensä osoitettu, esimerkiksi (1100)2-binääri, (1100)10-desimaali.

Digitaalisissa tietokoneissa käytetään laajalti muita kuin desimaalijärjestelmiä: binääri-, oktaali- ja heksadesimaalijärjestelmiä.

Binäärijärjestelmä

Tässä järjestelmässä d = 2 ja tässä sallitaan vain kaksi numeroa, eli ai = 0 tai 1.

Mikä tahansa binäärijärjestelmässä ilmaistu luku esitetään kannan potenssin tulon summana kaksi kertaa annetun bitin binaariluku. Esimerkiksi luku 101.01 voidaan kirjoittaa näin: 101.01 = 1×22 + 0x21 + 1×20 + 0x2-1 + 1×2-2, mikä vastaa desimaalijärjestelmän lukua: 4 + 1 + 0,25 = 5.25 .

Useimmissa nykyaikaisissa digitaalisissa tietokoneissa binäärilukujärjestelmää käytetään esittämään lukuja koneessa ja suorittamaan niille aritmeettisia operaatioita.

Binäärilukujärjestelmä desimaalilukujärjestelmään verrattuna mahdollistaa aritmeettisen laitteen ja muistilaitteen piirejä ja piirejä yksinkertaistamisen sekä tietokoneen luotettavuuden lisäämisen. Binääriluvun jokaisen bitin numeroa edustavat sellaisten elementtien "on / off"-tilat, kuten transistorit, diodit, jotka toimivat luotettavasti "on / off" -tiloissa. Binäärijärjestelmän haittoja ovat tarve kääntää erikoisohjelman mukaan alkuperäinen digitaalinen data binäärilukujärjestelmään ja päätöksen tulokset desimaalilukuiksi.

Oktaalilukujärjestelmä

Tämän järjestelmän kanta on d == 8. Numeroita käytetään esittämään lukuja: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Oktaalilukujärjestelmää käytetään tietokoneessa apuna ongelmien valmistelussa ratkaistaviksi (ohjelmointiprosessissa), koneen toiminnan tarkistamisessa ja ohjelman virheenkorjauksessa. Tämä järjestelmä antaa lyhyemmän esityksen numerosta kuin binäärijärjestelmä. Oktaalilukujärjestelmän avulla voit yksinkertaisesti vaihtaa binäärijärjestelmään.

Heksadesimaalilukujärjestelmä

Tämän järjestelmän kantaluku d = 16. 16 merkkiä käytetään esittämään numeroita: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F ja merkit A … F edustavat desimaalilukuja 10, 11, 12, 13, 14 ja 15. Heksadesimaaliluku (1D4F) 18 vastaa desimaalilukua 7503, koska (1D4F)18 = 1 x163 + 13 x 162 + 14 x 161+ 15 x 160 = (7503)10

Heksadesimaalimerkintä mahdollistaa binäärilukujen kirjoittamisen kompaktimmin kuin oktaaliluku. Se löytää sovelluksen joidenkin tietokoneiden syöttö- ja tulostuslaitteissa sekä numerojärjestyksen näyttölaitteissa.

Binääri-desimaalilukujärjestelmä

Numeroiden esitys binääri-desimaalijärjestelmässä on seuraava. Numeron desimaaliluku otetaan perustaksi, ja sitten jokainen sen numero (0 - 9) kirjoitetaan nelinumeroisena binääriluvun muodossa, jota kutsutaan tetradiksi, eli yhtäkään merkkiä ei käytetä edustamaan jokainen desimaalijärjestelmän numero, mutta neljä.

Esimerkiksi desimaaliluku 647,59 vastaisi BCD:tä 0110 0100 0111, 0101 1001.

Binääri-desimaalilukujärjestelmää käytetään välinumerojärjestelmänä sekä tulo- ja lähtönumeroiden koodaamiseen.

Säännöt numerojärjestelmän siirtämiseksi toiseen

Tietojen vaihto tietokonelaitteiden välillä tapahtuu pääasiassa binäärilukujärjestelmässä esitettyjen numeroiden avulla. Tieto esitetään käyttäjälle kuitenkin numeroina desimaalijärjestelmässä ja komentoosoitus oktaalijärjestelmässä. Tästä syystä on tarpeen siirtää numeroita järjestelmästä toiseen tietokoneen kanssa työskentelyn aikana. Käytä tätä varten seuraavaa yleissääntöä.

Jos haluat muuntaa kokonaisluvun mistä tahansa lukujärjestelmästä toiseen, tämä luku on jaettava peräkkäin uuden järjestelmän kannasta, kunnes osamäärä ei ole pienempi kuin jakaja. Numero uudessa järjestelmässä on kirjoitettava jakojäännöksinä, alkaen viimeisestä, eli oikealta vasemmalle.

Muunnetaan esimerkiksi desimaaliluku 1987 binääriarvoksi:

Desimaaliluku 1987 binäärimuodossa on 11111000011, ts. (1987)10 = (11111000011)2

Kun siirrytään mistä tahansa järjestelmästä desimaaliin, luku esitetään kantaluvun potenssien summana vastaavien kertoimien kanssa, ja sitten lasketaan summan arvo.

Muunnetaan esimerkiksi oktaaliluku 123 desimaaliluvuksi: (123)8 = 1 x 82 + 2 x 81 + 3 x 80 = 64 + 16 + 3 = 83, ts. (123)8 = (83)10

Luvun murto-osan siirtämiseksi mistä tahansa järjestelmästä toiseen on tarpeen suorittaa tämän murto-osan ja tuloksena olevien tuotteen murto-osien peräkkäinen kertolasku uuden lukujärjestelmän perusteella. Luvun murto-osa uudessa järjestelmässä muodostetaan kokonaisten osien muodossa tuloksena olevista tuloista alkaen ensimmäisestä. Kertolasku jatkuu, kunnes on laskettu luku tietyllä tarkkuudella.

Muunnetaan esimerkiksi desimaaliluku 0,65625 binäärilukujärjestelmäksi:

Koska viidennen tulon murto-osa koostuu vain nollista, lisäkertominen on tarpeetonta. Tämä tarkoittaa, että annettu desimaali muunnetaan binääriksi ilman virhettä, ts. (0,65625)10 = (0,10101)2.

Muuntaminen oktaalista ja heksadesimaalista binääriarvoksi ja päinvastoin ei ole vaikeaa. Tämä johtuu siitä, että niiden kantakohdat (d — 8 ja d — 16) vastaavat kahden kokonaislukuja (23 = 8 ja 24 = 16).

Oktaali- tai heksadesimaalilukujen muuntamiseksi binäärilukuiksi riittää, että jokainen niiden numero korvataan kolmi- tai nelinumeroisella binääriluvulla.

Muunnetaan esimerkiksi oktaaliluku (571)8 ja heksadesimaaliluku (179)16 binäärilukujärjestelmäksi.

Molemmissa tapauksissa saamme saman tuloksen, ts. (571)8 = (179)16 = (101111001)2

Jos haluat muuntaa luvun binääri-desimaalista desimaaliluvuksi, sinun on korvattava binääri-desimaaleissa esitetyn luvun jokainen tetradi desimaaliluvulla.

Esimerkiksi kirjoitetaan luku (0010 0001 1000, 0110 0001 0110)2-10 desimaalimuodossa, ts. (0010 0001 1000, 0110 0001 0110) 2-10 = (218 625)