Biot-Savartin laki ja magneettisen induktiovektorin kiertolause

Vuonna 1820 ranskalaiset tiedemiehet Jean-Baptiste Biot ja Félix Savard totesivat yhteisissä kokeissa tasavirtojen magneettikenttien tutkimiseksi yksiselitteisesti, että johtimen läpi virtaavan tasavirran magneettista induktiota voidaan pitää tuloksena. tämän johdon kaikkien osien yleinen toiminta virralla. Tämä tarkoittaa, että magneettikenttä noudattaa superpositiota (kenttien superpositiota).

Tasavirtajohtoryhmän luomalla magneettikentällä on seuraava magneettinen induktioettä sen arvo määritellään kunkin johtimen erikseen luomien magneettisten induktioiden vektorisummaksi. Toisin sanoen tasavirtajohtimen induktio B voidaan esittää reilusti tarkasteltavan tasavirtajohtimen I alkeisosiin dl kuuluvien alkeisinduktioiden dB vektorisummalla.

On käytännössä epärealistista eristää tasavirtajohtimen alkeisosa, koska DC. aina kiinni.Mutta voit mitata langan muodostaman kokonaismagneettisen induktion, toisin sanoen tietyn johtimen kaikkien perusosien tuottaman magneettisen induktion.

Siten Biot-Sovarin lain avulla voit löytää johtimen poikkileikkauksen (tunnettu pituus dl) magneettisen induktion B arvon annetulla tasavirralla I tietyllä etäisyydellä r tästä johtimen osasta ja tietty havaintosuunta valitulta osalta (asetettu virran suunnan ja johtimen osasta tutkittavaan pisteeseen johtimen lähellä olevassa tilassa olevan kulman välisen kulman sinin kautta):

Kokeellisesti todettiin, että magneettisen induktiovektorin suunta määritetään helposti oikeanpuoleisella ruuvilla tai kardaanisäännöllä: jos gimbalin translaatioliikkeen suunta sen pyörimisen aikana on sama kuin johdossa olevan tasavirran I suunta, niin kardaanikahvan pyörimissuunta määrittää tietyn virran tuottaman magneettisen induktiovektorin B suunnan.

Suoran virtaa kuljettavan johtimen magneettikenttä sekä esimerkki Bio-Savartin lain soveltamisesta siihen on esitetty kuvassa:

Joten jos integroimme eli lisäämme vakiovirtajohtimen jokaisen pienen osan osuuden kokonaismagneettikenttään, saamme kaavan, jolla löydetään virtajohtimen magneettinen induktio tietyllä säteellä R siitä. .

Samalla tavalla Bio-Savardin lain avulla voit laskea magneettiset induktiot eri konfiguraatioiden tasavirroista ja tietyissä pisteissä avaruudessa, esimerkiksi magneettisen induktion pyöreän piirin keskellä virralla löytää seuraava kaava:

Magneetti-induktiovektorin suunta löytyy helposti kardaanisäännön mukaan, vain nyt gimbaalia on käännettävä suljetun virran suuntaan, ja gimbalin eteenpäin liike näyttää magneettisen induktiovektorin suunnan.

Usein magneettikenttää koskevia laskelmia voidaan yksinkertaistaa, jos otetaan huomioon generoivan kentän antama virtojen konfiguraation symmetria. Tässä voit käyttää magneettisen induktiovektorin kiertolausetta (kuten Gaussin teoreemaa sähköstatiikassa). Mikä on "magneettisen induktiovektorin kierto"?

Valitaan avaruudessa tietty mielivaltaisen muotoinen suljettu silmukka ja osoitetaan ehdollisesti sen positiivinen kulkusuunta. Tämän silmukan jokaiselle pisteelle löytyy magneettisen induktiovektorin B projektio silmukan tangentista kyseisessä pisteessä. Sitten näiden määrien tulojen summa ääriviivan kaikkien osien alkeispituuksilla on magneettisen induktiovektorin B kierto tätä ääriviivaa pitkin:

Käytännössä kaikki virrat, jotka muodostavat tässä yleisen magneettikentän, voivat joko tunkeutua tarkasteltavan piirin ulkopuolelle tai osa niistä voi olla sen ulkopuolella. Kiertoteoreeman mukaan: tasavirtojen magneettisen induktiovektorin B kierto suljetussa silmukassa on numeerisesti yhtä suuri kuin magneettivakion mu0 tulo kaikkien silmukan läpäisevien tasavirtojen summalla. Tämän lauseen muotoili Andre Marie Ampere vuonna 1826:

Harkitse yllä olevaa kuvaa. Täällä virrat I1 ja I2 tunkeutuvat piiriin, mutta ne on suunnattu eri suuntiin, mikä tarkoittaa, että niillä on ehdollisesti erilaiset merkit.Positiivisella etumerkillä on virta, jonka magneettisen induktion suunta (perussäännön mukaan) on sama kuin valitun piirin ohituksen suunta. Tässä tilanteessa kiertolause on seuraavanlainen:

Yleisesti ottaen lause magneettisen induktiovektorin B kiertämisestä seuraa magneettikentän superpositioperiaatteesta ja Biot-Savardin laista.

Esimerkiksi johdetaan tasavirtajohtimen magneettisen induktion kaava. Valitaan ympyrän muotoinen ääriviiva, jonka keskustan läpi tämä lanka kulkee, ja lanka on kohtisuorassa ääriviivan tasoon nähden.

Siten ympyrän keskipiste on suoraan johtimen keskellä eli johtimessa. Koska kuva on symmetrinen, vektori B on suunnattu tangentiaalisesti ympyrään, ja sen projektio tangentille on siksi sama kaikkialla ja on yhtä suuri kuin vektorin B pituus. Kiertoteoreema kirjoitetaan seuraavasti:

Siksi seuraa kaava suoran johtimen magneettiselle induktiolle tasavirralla (tämä kaava on jo annettu edellä). Vastaavasti kiertoteoreemaa käyttämällä voidaan helposti löytää symmetristen DC-konfiguraatioiden magneettiset induktiot, joissa kenttäviivojen kuva on helppo visualisoida.

Yksi käytännössä tärkeistä esimerkeistä kiertoteoreeman soveltamisesta on magneettikentän löytäminen toroidisen induktorin sisältä.

Oletetaan, että donitsin muotoiselle pahvikehykselle on kierretty pyöristettynä toroidinen kela, jonka kierrosten lukumäärä on N. Tässä kokoonpanossa magneettiset induktiolinjat ovat donitsin sisällä ja ovat samankeskisiä (toistensa sisällä) ympyröitä. .

Jos katsot magneettisen induktiovektorin suuntaan donitsin sisäakselia pitkin, käy ilmi, että virta on suunnattu kaikkialle myötäpäivään (gimbal-säännön mukaan). Harkitse yhtä magneettisen induktion linjoista (näkyy punaisella) kelan sisällä ja valitse se ympyrämäiseksi silmukaksi, jonka säde on r. Sitten tietyn piirin kiertoteoreema kirjoitetaan seuraavasti:

Ja kelan sisällä olevan kentän magneettinen induktio on yhtä suuri:

Ohuelle toroidikelalle, jossa magneettikenttä on lähes tasainen koko poikkileikkauksellaan, on mahdollista kirjoittaa magneettisen induktion lauseke ikään kuin äärettömän pitkälle solenoidille, kun otetaan huomioon kierrosten lukumäärä pituusyksikköä kohti - n :

Tarkastellaan nyt äärettömän pitkää solenoidia, jossa magneettikenttä on kokonaan sisällä. Sovellamme kiertolausetta valittuun suorakaiteen muotoiseen muotoon.

Tässä magneettinen induktiovektori antaa nollasta poikkeavan projektion vain sivulla 2 (sen pituus on L). Käyttämällä parametria n — «kierrosten lukumäärä pituutta kohti», saamme sellaisen kiertolauseen muodon, joka loppujen lopuksi pelkistyy samaan muotoon kuin multitonCoy-toroidaalisella kelalla: