Miksi kompleksilukuja käytetään laskelmissa AC-piireissä?

Kuten tiedät, kompleksilukuja käytetään ratkaisemaan joitain tyypillisiä sähkötekniikan ongelmia. Mutta mihin niitä käytetään ja miksi se tehdään tällä tavalla? Tämän yritämme ymmärtää tämän artikkelin aikana. Tosiasia on, että monimutkainen menetelmä tai monimutkaisten amplitudien menetelmä on kätevä monimutkaisten AC-piirien laskemiseen. Ja aluksi, muistetaan joitain matematiikan perusteita:

Kuten näette, kompleksiluku z sisältää imaginaariosan ja reaaliosan, jotka eroavat toisistaan ​​ja on merkitty tekstissä eri tavalla. Itse kompleksiluku z voidaan kirjoittaa algebralliseen, trigonometriseen tai eksponentiaaliseen muotoon:

Historiallinen tausta

Uskotaan, että ajatus kuvitteellisista numeroista sai alkunsa vuonna 1545, jolloin italialainen matemaatikko, insinööri, filosofi, lääkäri ja astrologi Girolamo Cardano julkaisi tämän yhtälöiden ratkaisumenetelmän tutkielmassaan "The Great Art", jossa mm. , hän myönsi, että Niccolò oli antanut hänelle idean Tartaglialle (italialainen matemaatikko) kuusi vuotta ennen tämän teoksen julkaisemista. Kradano ratkaisee työssään seuraavan muotoisia yhtälöitä:

Näiden yhtälöiden ratkaisemisen yhteydessä tiedemies joutui myöntämään jonkin "epätodellisen" luvun olemassaolon, jonka neliö on yhtä suuri kuin miinus yksi "-1", toisin sanoen ikään kuin luvusta olisi neliöjuuri. negatiivinen luku, ja jos se nyt neliötetään, se osoittautuu vastaavaksi negatiiviseksi luvuksi juuren alla. Cardano esitti kertolaskusäännön, jonka mukaan:

Kolmen vuosisadan ajan matemaattinen yhteisö tottui Cardanon ehdottamaan uuteen lähestymistapaan. Imaginaariset luvut juurtuvat vähitellen, mutta matemaatikot ovat vastahakoisia hyväksymään niitä. Vasta Gaussin algebraa koskevien teosten julkaisussa, jossa hän todisti algebran peruslauseen, kompleksiluvut hyväksyttiin lopulta täysin, 1800-luku oli käsillä.

Kuvitteellisista luvuista tuli todellinen pelastus matemaatikoille, koska monimutkaisimmat ongelmat tulivat paljon helpompia ratkaista hyväksymällä imaginaarilukujen olemassaolo.

Joten pian se tuli sähkötekniikkaan. Vaihtovirtapiirit olivat joskus hyvin monimutkaisia ​​ja niiden laskemiseksi piti laskea monia integraaleja, mikä oli usein erittäin hankalaa.

Lopulta vuonna 1893 loistava sähköinsinööri Carl August Steinmetz puhui Chicagossa kansainvälisessä sähköteknisessä kongressissa raportilla "Monimutkaiset luvut ja niiden soveltaminen sähkötekniikassa", joka itse asiassa merkitsi alkua insinöörien monimutkaisen menetelmän käytännön soveltamiselle. vaihtovirtapiirien laskeminen.

Tiedämme tämän fysiikan kurssilta vaihtovirta — Tämä on virta, joka muuttuu ajan myötä sekä voimakkuuden että suunnan suhteen.

Tekniikassa on erilaisia ​​vaihtovirtamuotoja, mutta yleisin on nykyään sinivaihtovirta, jota käytetään kaikkialla, jonka avulla sähköä siirretään, vaihtovirran muodossa, jota tuotetaan, muunnetaan muuntajia ja kuluttaa kuormat. Sinimuotoinen virta muuttuu ajoittain sinimuotoisen (harmonisen) lain mukaan.

Virran ja jännitteen teholliset arvot ovat pienempiä kuin juuren amplitudiarvot kaksi kertaa:

Monimutkaisessa menetelmässä virtojen ja jännitteiden teholliset arvot kirjoitetaan seuraavasti:

Huomaa, että sähkötekniikassa imaginaarista yksikköä merkitään kirjaimella «j», koska kirjainta «i» käytetään jo tässä osoittamaan virtaa.

From Ohmin laki määrittää vastuksen kompleksiarvon:

Kompleksisten arvojen yhteen- ja vähennyslasku tehdään algebrallisessa muodossa ja kerto- ja jakolasku eksponentiaalisessa muodossa.

Tarkastellaan kompleksisten amplitudien menetelmää käyttämällä esimerkkiä tietystä piiristä, jolla on tietyt pääparametrien arvot.

Esimerkki ongelman ratkaisemisesta kompleksilukujen avulla

Annettu:

• kelan jännite 50 V,

• vastuksen vastus 25 ohm,

• kelan induktanssi 500 mH,

• kondensaattorin sähköinen kapasiteetti on 30 mikrofaradia,

• kelan vastus 10 ohm,

• verkkotaajuus 50 Hz.

Etsi: ampeerimittarin ja volttimittarin lukemat sekä wattimittarit.

Vastaus:

Aluksi kirjoitetaan sarjaan kytkettyjen elementtien kompleksinen resistanssi, joka koostuu todellisista ja kuvitteellisista osista, sitten löydämme aktiivi-induktiivisen elementin kompleksisen resistanssin.

Muistaa! Saadaksesi eksponentiaalisen muodon, etsi moduuli z, joka on yhtä suuri kuin reaali- ja imaginaariosan neliösumman neliöjuuri, ja phi, joka on yhtä suuri kuin imaginaariosan jaetun reaaliosan osamäärän arktangentti.

Sitten löydämme virran ja vastaavasti ampeerimittarin lukemat:

Joten ampeerimittari näyttää 0,317 A:n virran, joka on koko sarjapiirin läpi kulkeva virta.

Nyt löydämme kondensaattorin kapasitiivisen vastuksen, sitten määritämme sen monimutkaisen vastuksen:

Sitten laskemme tämän piirin kokonaiskompleksiimpedanssin:

Nyt löydämme piiriin syötetyn tehollisen jännitteen:

Volttimittari näyttää tehollisen jännitteen 19,5 volttia.

Lopuksi löydämme tehon, jonka wattimittari näyttää, ottaen huomioon virran ja jännitteen välisen vaihe-eron

Wattimittari näyttää 3,51 wattia.

Nyt ymmärrät kuinka tärkeitä kompleksiluvut ovat sähkötekniikassa. Niitä käytetään kätevään sähköpiirien laskemiseen. Monet elektroniset mittalaitteet toimivat samalla pohjalla.