Maxwellin yhtälöt sähkömagneettiselle kentälle — sähködynamiikan peruslait
Maxwellin yhtälöjärjestelmä on nimensä ja ulkonäkönsä velkaa James Clerk Maxwellille, joka muotoili ja kirjoitti nämä yhtälöt 1800-luvun lopulla.
Maxwell James Clark (1831-1879) on kuuluisa brittiläinen fyysikko ja matemaatikko, professori Cambridgen yliopistossa Englannissa.
Hän käytännössä yhdisti yhtälöihinsä kaikki tuolloin saadut kokeelliset tulokset sähköstä ja magnetismista ja antoi sähkömagnetismin laeille selkeän matemaattisen muodon. Sähködynamiikan peruslait (Maxwellin yhtälöt) muotoiltiin vuonna 1873.
Maxwell kehitti Faradayn opin sähkömagneettisesta kentästä koherentiksi matemaattiseksi teoriaksi, josta seuraa sähkömagneettisten prosessien aallon etenemisen mahdollisuus. Kävi ilmi, että sähkömagneettisten prosessien etenemisnopeus on yhtä suuri kuin valon nopeus (jonka arvo tiedettiin jo kokeista).
Tämä sattuma toimi Maxwellin perustana ilmaista ajatuksen sähkömagneettisten ja valoilmiöiden yhteisestä luonteesta, ts. valon sähkömagneettisesta luonteesta.
James Maxwellin luoma sähkömagneettisten ilmiöiden teoria sai ensimmäisen vahvistuksensa Hertzin kokeissa, joka ensimmäisenä sai elektromagneettiset aallot.
Tämän seurauksena näillä yhtälöillä oli tärkeä rooli klassisen sähködynamiikan tarkkojen esitysten muodostumisessa. Maxwellin yhtälöt voidaan kirjoittaa differentiaali- tai integraalimuodossa. Käytännössä he kuvaavat matematiikan kuivalla kielellä sähkömagneettista kenttää ja sen suhdetta sähkövarauksiin ja virtoihin tyhjiössä ja jatkuvassa väliaineessa. Näihin yhtälöihin voit lisätä Lorentzin voiman ilmaisu, jolloin saamme täydellinen klassisen sähködynamiikan yhtälöjärjestelmä.
Ymmärtääksemme joitain matemaattisia symboleja, joita käytetään Maxwellin yhtälöiden differentiaalimuodoissa, määritelkäämme ensin niin mielenkiintoinen asia kuin nabla-operaattori.
Nabla-operaattori (tai Hamilton-operaattori) On vektoridifferentiaalioperaattori, jonka komponentit ovat osittaisia derivaattoja koordinaattien suhteen. Todelliselle avaruudellemme, joka on kolmiulotteinen, sopii suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä, jolle operaattori nabla määritellään seuraavasti:
missä i, j ja k ovat yksikkökoordinaattivektoreita
Nabla-operaattori, kun sitä sovelletaan kenttään jollain matemaattisella tavalla, antaa kolme mahdollista yhdistelmää. Näitä yhdistelmiä kutsutaan:
Kaltevuus — vektori, jonka suunta osoittaa tietyn suuren suurimman kasvun suunnan, jonka arvo vaihtelee avaruuden pisteestä toiseen (skalaarikenttä) ja suuruudeltaan (moduuli) on yhtä suuri kuin tämän kasvunopeus määrä tähän suuntaan.
Ero (poikkeama) — differentiaalioperaattori, joka kuvaa vektorikentän skalaariin (eli differentiointioperaation soveltamisen tuloksena vektorikenttään saadaan skalaarikenttä), joka määrittää (jokaiselle pisteelle) "kuinka paljon kenttä tulee ja jättää pienen naapuruston tietylle pisteelle hajoaa ", tarkemmin sanottuna kuinka erilaisia sisään- ja ulosvirtaukset ovat.
Roottori (pyörre, pyöriminen) on vektoridifferentiaalioperaattori vektorikentän yli.
Mieti nyt suoraan Maxwellin yhtälöt integraali (vasen) ja differentiaali (oikea) muodossasisältää sähkö- ja magneettikenttien peruslait, mukaan lukien sähkömagneettinen induktio.
Integraalimuoto: sähkökentän voimakkuusvektorin kierto mielivaltaisessa suljetussa silmukassa on suoraan verrannollinen tämän silmukan rajoittaman alueen läpi kulkevan magneettivuon muutosnopeuteen.
Differentiaalimuoto: jokainen muutos magneettikentässä tuottaa pyörteisen sähkökentän, joka on verrannollinen magneettikentän induktion muutosnopeuteen.
Fyysinen merkitys: mikä tahansa muutos magneettikentässä ajan myötä aiheuttaa pyörteisen sähkökentän ilmaantumisen.
Integraalimuoto: magneettikentän induktiovirta mielivaltaisen suljetun pinnan läpi on nolla. Tämä tarkoittaa, että luonnossa ei ole magneettisia varauksia.
Differentiaalimuoto: äärettömän alkeistilavuuden magneettikentän induktiokenttäviivojen vuo on yhtä suuri kuin nolla, koska kenttä on pyörteinen.
Fyysinen merkitys: luonnossa ei ole magneettikentän lähteitä magneettisten varausten muodossa.
Integraalimuoto: magneettikentän voimakkuusvektorin kierto mielivaltaisessa suljetussa silmukassa on suoraan verrannollinen tämän silmukan peittämän pinnan ylittävään kokonaisvirtaan.
Differentiaalimuoto: Pyörremagneettikenttä on olemassa minkä tahansa virtaa kuljettavan johtimen ympärillä ja minkä tahansa vaihtosähkökentän ympärillä.
Fyysinen merkitys: johtavan virran virtaus johtimien läpi ja sähkökentän muutokset ajan myötä johtavat pyörteisen magneettikentän syntymiseen.
Integraalimuoto: sähköstaattisen induktiovektorin virta mielivaltaisen suljetun pinnan läpi, joka sulkee sisäänsä varaukset, on suoraan verrannollinen tuon pinnan sisällä olevaan kokonaisvaraukseen.
Differentiaalimuoto: sähköstaattisen kentän induktiovektorin vuo äärettömästä alkuainetilavuudesta on suoraan verrannollinen kokonaisvaraukseen kyseisessä tilavuudessa.
Fysikaalinen merkitys: sähkökentän lähde on sähkövaraus.
Näiden yhtälöiden järjestelmää voidaan täydentää ns. materiaaliyhtälöjärjestelmällä, joka kuvaa tilan täyttävän materiaalin ominaisuuksia:
