Kontaktipiirialgebran lait, Boolen algebra

Relepiirien rakenteen ja toimintaolosuhteiden analyyttinen tallentaminen mahdollistaa piirien analyyttisen ekvivalenttimuunnoksen, eli rakennekaavoja muuntamalla, löytää niiden toiminnaltaan samankaltaisia ​​kaavioita. Muunnosmenetelmät on kehitetty erityisesti kosketuspiirejä ilmaisevia rakennekaavoja varten.

Kosketuspiireissä käytetään logiikan algebran matemaattista laitteistoa, tarkemmin sanottuna yhtä sen yksinkertaisimmista muodoista, proposition calculus tai Boolen algebra (viime vuosisadan matemaatikon J. Boolen mukaan).

Propositiolaskenta kehitettiin alun perin tutkimaan riippuvuutta (monimutkaisten tuomioiden totuutta tai virheellisyyttä niiden muodostavien yksinkertaisten lauseiden totuudesta tai virheellisyydestä. Propositiolaskenta on pohjimmiltaan kahden luvun algebra, eli algebra jokaisella yksittäisellä argumentilla ja jokaisella funktiolla voi olla yksi kahdesta arvosta.

Tämä määrittää mahdollisuuden käyttää Boolen algebraa kosketinpiirien muuntamiseen, koska jokainen rakennekaavaan sisältyvä argumentti (kontakti) voi ottaa vain kaksi arvoa, eli se voi olla suljettu tai avoin, ja koko funktion edustaa rakennekaavaa. kaava voi ilmaista joko suljetun tai avoimen silmukan.

Boolen algebra esittelee:

1) objektit, joilla on tavallisen algebran tapaan nimet: itsenäiset muuttujat ja funktiot — mutta toisin kuin tavallisessa algebrassa, Boolen algebrassa molemmilla voi olla vain kaksi arvoa: 0 ja 1;

2) peruslogiikan operaatiot:

• looginen summaus (tai disjunktio, looginen TAI, merkitty merkillä ?), joka määritellään seuraavasti: operaation tulos on 0, jos ja vain jos operaation kaikki argumentit ovat yhtä suuret kuin 0, muuten tulos on 1;

• looginen kertolasku (tai ketjutus, looginen AND, merkitty ?:llä tai ei ollenkaan), joka määritellään seuraavasti: operaation tulos on 1 jos ja vain jos operaation kaikki argumentit ovat yhtä suuret kuin 1, muuten tulos on 0;

• negaatio (tai päinvastoin, looginen EI, ilmaistaan ​​argumentin yläpuolella olevalla palkilla), joka määritellään seuraavasti: operaation tuloksella on argumentin vastakkainen arvo;

3) aksioomit (Boolen algebran lait), jotka määrittelevät loogisten lausekkeiden muunnossäännöt.

Huomaa, että jokainen looginen operaatio voidaan suorittaa sekä muuttujille että funktioille, joita kutsutaan jäljempänä Boolen funktioiksi... Muista, että analogisesti tavallisen algebran kanssa Boolen algebrassa loogisen kertolaskuoperaatio on etusijalla loogiseen verrattuna lisäystoiminto.

Boolen lausekkeet muodostetaan yhdistämällä loogisia operaatioita useille objekteille (muuttujille tai funktioille), joita kutsutaan toiminnon argumenteiksi.

Loogisten lausekkeiden muunnos Boolen algebran lakeja käyttäen tehdään yleensä minimointitarkoituksessa, koska mitä yksinkertaisempi lauseke, sitä pienempi on logiikkaketjun, joka on loogisen lausekkeen tekninen toteutus, monimutkaisuus.

Boolen algebran lait esitetään aksioomien ja seurausten joukkona. Nämä voidaan tarkistaa yksinkertaisesti korvaamalla muuttujien eri arvot.

Minkä tahansa Boolen funktion loogisen lausekkeen tekninen analogi on logiikkakaavio... Tässä tapauksessa muuttujat, joista Boolen funktio riippuu, on kytketty tämän piirin ulkoisiin tuloihin, Boolen funktion arvo muodostetaan piirin ulkoinen lähtö, ja jokainen looginen operaatio loogisessa lausekkeessa on toteutettu loogisella elementillä.

Siten jokaiselle logiikkapiirin ulostulossa olevalle tulosignaalijoukolle generoidaan signaali, joka vastaa tämän muuttujajoukon loogisen funktion arvoa (jatkossa käytämme seuraavaa käytäntöä: 0 - alhainen signaalitaso , 1 — korkea signaalitaso).

Logiikkapiirejä rakennettaessa oletetaan, että muuttujat syötetään sisääntuloon parafaasikoodilla (eli muuttujien sekä suorat että käänteiset arvot ovat käytettävissä).

Taulukossa 1 on esitetty joidenkin logiikkaelementtien tavanomaiset graafiset merkinnät standardin GOST 2.743-91 mukaisesti sekä niiden ulkomaiset vastineet.

Niiden elementtien lisäksi, jotka suorittavat Boolen algebran kolme toimintoa (AND, OR, NOT), välilehdessä. 1 näyttää elementit, jotka suorittavat pääelementistä johdettuja toimintoja:

— JA -EI — loogisen kertolaskun negaatio, jota kutsutaan myös Schaefer-siirroksi (merkitty |)

— TAI -EI — loogisen komplementin negaatio, jota kutsutaan myös Peircen nuoleksi (merkitty ?)

Yhdistämällä logiikkaportit sarjaan yhteen, voit toteuttaa minkä tahansa Boolen funktion.

Rakennekaavoja, jotka ilmaisevat relepiirejä yleisesti, eli jotka sisältävät reagoivien kotkien symboleja, ei voida pitää kahden arvon funktioina, jotka ilmaisevat vain suljettua tai avointa piiriä. Siksi tällaisten funktioiden kanssa työskenneltäessä syntyy joukko uusia riippuvuuksia, jotka ylittävät Boolen algebran rajat.

Boolen algebrassa on neljä paria peruslakeja: kaksi siirtymää, kaksi kombinatorista, kaksi distributiivista ja kaksi juridista inversiota. Nämä lait määrittävät eri lausekkeiden ekvivalenssin, eli ne pitävät lausekkeita, jotka voidaan korvata toisillaan, kuten identiteettien korvaaminen tavallisessa algebrassa. Ekvivalenssisymboliksi otamme symbolin, joka on sama kuin tavallisen algebran yhtäläisyyssymboli (=).

Boolen algebran lakien pätevyys kosketuspiireille selvitetään tarkastelemalla vastaavien lausekkeiden vasenta ja oikeaa puolta vastaavia piirejä.

Matkailulaki

Lisätään: x + y = y + x

Näitä lausekkeita vastaavat kaaviot on esitetty kuvassa. 1, a.

Vasen ja oikea piiri ovat normaalisti avoimia piirejä, joista kukin sulkeutuu, kun jokin elementeistä (X tai Y) laukeaa, eli nämä piirit ovat vastaavia. Kertolasku: x ·y = y ·NS.

Näitä lausekkeita vastaavat kaaviot on esitetty kuvassa. Kuviossa 1b niiden vastaavuus on myös ilmeinen.

Riisi. 1

Yhdistelmän lait

Lisäys: (x + y) + z = x + (y + z)

Kertominen: (x ·y) ·z = x ·(y ·z)

Näitä lausekkeita vastaavat ekvivalenttipiirien parit on esitetty kuvassa. 2, a, b

Riisi. 2

Jakelusäännöt

Kerto- ja yhteenlasku: (x + y) +z = x + (y + z)

Yhteenlasku vs kertolasku. x ·y + z = (x + z) · (y + z)

Näitä lausekkeita vastaavat kaaviot on esitetty kuvassa. 3, a, b.

Riisi. 3.

Näiden järjestelmien vastaavuus voidaan helposti todentaa ottamalla huomioon erilaisia ​​kosketustoimien yhdistelmiä.

Inversion lait

Lisäyksen yhteydessä: NS + c = NS·c

Lausekkeen vasemman puolen yläpuolella oleva palkki on negaatio- tai käänteismerkki. Tämä merkki osoittaa, että koko funktiolla on päinvastainen merkitys negaatiomerkin alla olevaan lausekkeeseen nähden. Koko käänteisfunktiota vastaavaa kaaviota ei voi piirtää, mutta negatiivisen merkin alla olevaa lauseketta vastaava kaavio voidaan piirtää. Siten kaavaa voidaan havainnollistaa kuvan 2 kaavioilla. 4, a.

Riisi. 4.

Vasen kaavio vastaa lauseketta x + y ja oikea NS ·c

Nämä kaksi piiriä ovat toiminnassa toisiaan vastapäätä, nimittäin: jos vasen piiri virittämättömillä elementeillä X, Y on avoin piiri, niin oikea piiri on suljettu. Jos vasemmassa piirissä, kun yksi elementeistä laukeaa, piiri sulkeutuu, ja oikeassa piirissä se päinvastoin avautuu.

Koska negatiivisen etumerkin määritelmän mukaan funktio x + y on funktion x + y käänteis, niin on selvää, että x + y = NS·in.

Mitä tulee kertolaskuun: NS · c = NS + c

Vastaavat kaaviot on esitetty kuvassa. 4, b.

Translokatiiviset ja kombinaatio- ja kertolaskulait ja distributiivinen yhteenlaskulaki (vastaavat samanlaisia ​​tavallisen algebran lakeja).Siksi rakennekaavojen muunnoksen yhteydessä termien yhteen- ja kertolaskujärjestyksessä, termien sijoittamisessa sulujen ulkopuolelle ja hakasulkeiden laajentamiseen voit noudattaa tavallisten algebrallisten lausekkeiden kanssa työskentelyä koskevia sääntöjä. Kertolaislaskun ja inversion lait ovat ominaisia ​​Boolen algebralle.