Logiikkaalgebran perusteet ja lait

Irlantilainen matemaatikko 1800-luvun puolivälissä George Bull kehitti logiikan algebran ("ajattelun lakien tutkiminen"). Tästä syystä kutsutaan myös logiikan algebraa boolen algebra.

Antamalla kirjainmerkintöjä, ilmaisemalla loogisten muunnosten operaatioita toimintasymboleilla ja käyttämällä näille toiminnoille vahvistettuja sääntöjä ja aksioomia, logiikan algebra mahdollistaa lauselogiikalla annetun ongelman ratkaisun päättelyprosessin täysin kuvatun algoritmeilla. , eli matemaattisesti kirjoitettu ohjelma ratkaisee tämän ongelman.

Lausuntojen totuuden tai virheellisyyden ilmaisemiseksi (eli arvojen käyttöönottamiseksi lausuntojen arvioimiseksi) logiikan algebra käyttää binäärijärjestelmää, joka on kätevä tässä tapauksessa. Jos väite on tosi, se saa arvon 1, jos se on epätosi, se saa arvon 0. Toisin kuin binääriluvut, loogiset 1:t ja 0:t eivät ilmaise määrää, vaan tilaa.

Joten Boolen algebralla kuvatuissa sähköpiireissä, joissa 1 on jännitteen läsnäolo ja 0 on sen puuttuminen, jännitteen syöttö useista lähteistä piirin yhteen solmuun (eli useiden sen loogisten yksiköiden saapuminen) on näkyy myös loogisena yksikkönä, joka ei osoita solmun kokonaisjännitettä, vaan vain sen läsnäoloa.

Logiikkapiirien tulo- ja lähtösignaaleja kuvattaessa käytetään muuttujia, jotka ottavat vain loogisen 0 tai 1 arvot. Lähtösignaalien riippuvuus tulosta määritetään looginen operaatio (funktio)… Merkitään tulomuuttujat X1:llä ja X2:lla ja niille loogisella operaatiolla saatu tulos y:llä.

Mieti sitä kolme loogisen perusoperaatiota, joiden avulla voidaan kuvata yhä monimutkaisempia.

1. TAI-toiminto — looginen lisäys:

Kun otetaan huomioon muuttujien kaikki mahdolliset arvot, OR-operaatio voidaan määritellä syötteessä olevan vähintään yhden yksikön riittävyyteen tuottamaan yksi tulos. Operaation nimi selittyy liiton TAI semanttisella merkityksellä lauseessa: "Jos OR on yksi tulo TAI toinen on yksi, niin lähtö on yksi."

2. Operaatio AND — looginen kertolasku:

Kun otetaan huomioon muuttujien koko joukko arvoja, AND-operaatio määritellään tarpeeksi sovittaa kaikki tuloissa olevat arvot, jotta tulosteesta saadaan yksi: "Jos AND on yksi syöte ja toinen on yksi, niin lähtö on yksi. «

3. Operaatio NOT — looginen negaatio tai inversio. Se ilmaistaan ​​muuttujan yläpuolella olevalla palkilla.

Käänteisenä muuttujan arvo käännetään.

Loogisen algebran peruslait:

1. Nollajoukon laki: minkä tahansa muuttujien määrän tulo katoaa, jos jokin muuttujista on nolla, riippumatta muiden muuttujien arvoista:

2. Universaalijoukon laki — minkä tahansa muuttujien määrän summasta tulee yksi, jos vähintään yhdellä muuttujista on arvo yksi, muista muuttujista riippumatta:

3. Toiston laki — lausekkeen toistuvat muuttujat voidaan jättää pois (toisin sanoen Boolen algebrassa ei ole eksponentiota ja kertomista numeerisella kertoimella):

4. Kaksoisinversion laki — kahdesti suoritettu käännös on tyhjä operaatio:

5. Täydentävyyden laki — kunkin muuttujan ja sen käänteisarvon tulo on nolla:

6. Kunkin muuttujan ja sen käänteisluvun summa on yksi:

7. Suojalait — kerto- ja yhteenlaskuoperaatioiden suorittamisen tulos ei riipu muuttujien järjestyksessä:

8. Yhdistetyt lait — kerto- ja yhteenlaskuoperaatioiden aikana muuttujat voidaan ryhmitellä mihin tahansa järjestykseen:

9. Jakelusäännöt — kokonaiskerroin saa laittaa sulkeiden ulkopuolelle:

10. Absorption lait — osoittavat tapoja yksinkertaistaa lausekkeita, joissa on muuttuja kaikissa tekijöissä ja termeissä:

11. De Morganin lait — tuotteen inversio on muuttujien inversioiden summa:

summan inversio on muuttujien inversioiden tulo: