Vektorikentän virtaus ja kierto

NPerustuu Richard Feynmanin luentomateriaaliin

Kun kuvataan sähkön lakeja vektorikentillä, kohtaamme kaksi vektorikentän matemaattisesti tärkeää ominaisuutta: vuo ja kierto. Olisi kiva ymmärtää, mitä nämä matemaattiset käsitteet ovat ja mikä niiden käytännön merkitys on.

Kysymyksen toiseen osaan on helppo vastata heti, koska virtauksen ja kierron käsitteet ovat ytimessä Maxwellin yhtälöt, johon kaikki moderni sähködynamiikka itse asiassa perustuu.

Joten esimerkiksi sähkömagneettisen induktion laki voidaan muotoilla seuraavasti: sähkökentän E kierto suljetussa silmukassa C on yhtä suuri kuin tämän rajoittaman pinnan S läpi kulkevan magneettikentän B vuon muutosnopeus. silmukka B.

Seuraavassa kuvataan yksinkertaisesti, selkein nesteesimerkein, kuinka kenttäominaisuudet määritetään matemaattisesti, mistä nämä kenttäominaisuudet otetaan ja saadaan.

Vektorikenttävirta

Piirretään aluksi tietty, täysin mielivaltaisen muotoinen suljettu pinta tutkittavan alueen ympärille. Tämän pinnan kuvaamisen jälkeen kysymme, virtaako tutkimuskohde, jota kutsumme kentällä, tämän suljetun pinnan läpi. Ymmärtääksesi, mistä tässä on kyse, harkitse yksinkertaista nestemäistä esimerkkiä.

Oletetaan, että tutkimme tietyn nesteen nopeuskenttää. Tällaisessa esimerkissä on järkevää kysyä: kulkeeko tämän pinnan läpi enemmän nestettä aikayksikköä kohti kuin virtaa tämän pinnan rajoittamaan tilavuuteen? Toisin sanoen, suuntautuuko ulosvirtaus aina ensisijaisesti sisältä ulospäin?

Lauseella "vektorikenttävuo" (ja esimerkissämme ilmaisu "fluidin nopeusvuo" on tarkempi) suostumme nimeämään kuvitteellisen nesteen kokonaismäärän, joka virtaa tarkastellun tilavuuden pinnan läpi, jota rajoittaa annettu suljettu pinta (nesteen virtausnopeudelle, kuinka paljon nestettä seuraa tilavuudesta aikayksikköä kohti).

Tämän seurauksena virtaus pintaelementin läpi on yhtä suuri kuin pintaelementin pinta-alan tulo nopeuden kohtisuorassa komponentissa. Silloin kokonaisvuo (kokonais) koko pinnalla on yhtä suuri kuin nopeuden keskimääräisen normaalikomponentin tulo, jonka laskemme sisältä ulospäin, kokonaispinta-alalla.

Nyt takaisin sähkökenttään. Sähkökenttää ei tietenkään voida pitää jonkin nesteen virtausnopeudena, mutta meillä on oikeus ottaa käyttöön matemaattinen käsite virtauksesta, samanlainen kuin mitä edellä kuvailimme nesteen nopeuden virtauksena.

Vain sähkökentän tapauksessa sen vuo voidaan määrittää sähkökentän voimakkuuden E keskimääräisellä normaalikomponentilla. Lisäksi sähkökentän vuo voidaan määrittää ei välttämättä suljetun pinnan, vaan minkä tahansa rajatun pinnan kautta. nollasta poikkeavan alueen S .

Vektorikentän kiertokulku

Kaikki tietävät hyvin, että selkeyden vuoksi kentät voidaan kuvata ns. voimalinjoina, joiden jokaisessa pisteessä tangentin suunta osuu yhteen kentänvoimakkuuden suunnan kanssa.

Palataanpa nesteen analogiaan ja kuvitellaan nesteen nopeuskenttä, kysytään itseltämme: kiertääkö neste? Eli liikkuuko se ensisijaisesti jonkin kuvitteellisen suljetun silmukan suuntaan?

Selvyyden vuoksi kuvittele, että suuressa astiassa oleva neste liikkuu jotenkin (kuva A) ja jäädyimme yhtäkkiä melkein koko tilavuudestaan, mutta onnistuimme jättämään tilavuuden jäätymättä tasaisesti suljetun putken muodossa, jossa ei ole nesteen kitka seinillä (kuva b).

Tämän putken ulkopuolella neste on muuttunut jääksi eikä voi siksi enää liikkua, mutta putken sisällä neste pystyy jatkamaan liikettä, mikäli vallitsee liikemäärä, joka ajaa sitä esimerkiksi myötäpäivään (kuva 1). . °C). Tällöin putkessa olevan nesteen nopeuden ja putken pituuden tuloa kutsutaan nesteen nopeuskierroksi.

Vastaavasti voimme määritellä kiertokulkua vektorikentällä, vaikka taas kentän ei voida sanoa olevan minkään nopeus, voimme silti määritellä "kiertokulun" matemaattisen ominaisuuden ääriviivaa pitkin.

Joten vektorikentän kierto imaginaarista suljettua silmukkaa pitkin voidaan määritellä vektorin keskimääräisen tangentiaalisen komponentin tulona silmukan kulkusuunnassa — silmukan pituudella.