Symbolinen menetelmä AC-piirien laskemiseen

Symbolinen menetelmä operaatioille vektorisuureiden kanssa perustuu hyvin yksinkertaiseen ajatukseen: jokainen vektori on jaettu kahteen osaan: yksi vaakasuora, joka kulkee pitkin abskissaa, ja toinen, pystysuora, kulkee pitkin ordinaatta. Tässä tapauksessa kaikki vaakakomponentit seuraavat suoraa viivaa ja ne voidaan lisätä yksinkertaisella algebrallisella summauksella, ja pystykomponentit lisätään samalla tavalla.

Tämä lähestymistapa johtaa yleensä kahteen tuloksena olevaan komponenttiin, vaaka- ja pystykomponenttiin, jotka ovat aina vierekkäin samassa 90° kulmassa.

Näitä komponentteja voidaan käyttää tuloksen löytämiseen eli geometriseen summaukseen. Suorakulmaiset komponentit edustavat suorakulmaisen kolmion jalkoja ja niiden geometrinen summa edustaa hypotenuusaa.

Voit myös sanoa, että geometrinen summa on numeerisesti yhtä suuri kuin komponenteille ja sen sivuille rakennetun suunnikkaan diagonaali... Jos vaakakomponenttia merkitään AG:lla ja pystykomponentilla AB, niin geometrinen summa ( 1)

Suorakulmaisten kolmioiden geometrisen summan löytäminen on paljon helpompaa kuin vinojen kolmioiden. On helppo nähdä, että (2)

tulee (1), jos komponenttien välinen kulma on 90°. Koska cos 90 = 0, radikaalilausekkeen (2) viimeinen termi häviää, minkä seurauksena lauseke yksinkertaistuu huomattavasti. Huomaa, että yksi kolmesta sanasta on lisättävä sanan "summa" eteen: "aritmeettinen", "algebrallinen", "geometrinen".

Kuva. 1.

Sana "määrä" määrittelemättä mikä johtaa epävarmuuteen ja joissakin tapauksissa suuriin virheisiin.

Muista, että tuloksena oleva vektori on yhtä suuri kuin vektorien aritmeettinen summa siinä tapauksessa, että kaikki vektorit kulkevat pitkin suoraa (tai yhdensuuntaista toistensa kanssa) samaan suuntaan. Lisäksi kaikilla vektoreilla on plusmerkki (kuva 1, a).

Jos vektorit kulkevat pitkin suoraa mutta osoittavat vastakkaisiin suuntiin, niin niiden tulos on yhtä suuri kuin vektorien algebrallinen summa, jolloin joillakin termeillä on plusmerkki ja toisilla miinusmerkki.

Esimerkiksi kuvan 1 kaaviossa. 1, b U6 = U4 - U5. Voidaan myös sanoa, että aritmeettista summaa käytetään tapauksissa, joissa vektorien välinen kulma on nolla, algebrallinen, kun kulmat ovat 0 ja 180 °. Kaikissa muissa tapauksissa summaus suoritetaan vektorisesti, eli geometrinen summa määritetään (kuva 1, c).

Esimerkki... Määritä vastaavan siniaallon parametrit piirille Fig. 2, mutta symbolinen.

Vastaus. Piirretään vektorit Um1 Um2 ja jaetaan ne komponenteiksi. Piirustuksesta voidaan nähdä, että kukin vaakakomponentti on vektorin arvo kerrottuna vaihekulman kosinilla ja pystysuora on vektoriarvo kerrottuna vaihekulman sinillä. Sitten

Kuva. 2.

On selvää, että vaaka- ja pystykomponenttien kokonaismäärä on yhtä suuri kuin vastaavien komponenttien algebralliset summat. Sitten

Tuloksena olevat komponentit on esitetty kuvassa. 2, b. Määritä tälle Um:n arvo, laske kahden komponentin geometrinen summa:

Määritä ekvivalenttivaihekulma ψeq. Kuva. Kuviosta 2, b voidaan nähdä, että pysty- ja vaakakomponentin suhde on ekvivalentin vaihekulman tangentti.

missä

Näin saadun sinusoidin amplitudi on 22,4 V, alkuvaihe 33,5° ja sama ajanjakso kuin komponenteilla. Huomaa, että vain saman taajuuden siniaaltoja voidaan lisätä, koska kun eri taajuuksilla sinikäyriä lisätään, tuloksena oleva käyrä lakkaa olemasta sini ja kaikki vain harmonisiin signaaleihin sovellettavat käsitteet raukeavat tässä tapauksessa.

Tarkastellaanpa vielä kerran koko muutosketjua, joka on tehtävä harmonisten aaltomuotojen matemaattisten kuvausten avulla, kun suoritetaan erilaisia ​​laskutoimituksia.

Ensin aikafunktiot korvataan vektorikuvilla, sitten kukin vektori hajotetaan kahdeksi keskenään kohtisuoraksi komponentiksi, sitten vaaka- ja pystykomponentit lasketaan erikseen ja lopuksi määritetään tuloksena olevan vektorin arvot ja sen alkuvaihe.

Tämä laskentamenetelmä eliminoi tarpeen lisätä graafisesti (ja joissakin tapauksissa suorittaa monimutkaisempia operaatioita, esimerkiksi kertoa, jakaa, erottaa juuret jne.) sinimuotoisia käyriä ja turvautua laskelmiin vinojen kolmioiden kaavoilla.

On kuitenkin melko hankalaa laskea operaation vaaka- ja pystykomponentit erikseen.Tällaisissa laskelmissa on erittäin kätevää olla sellainen matemaattinen laite, jolla voit laskea molemmat komponentit kerralla.

Jo viime vuosisadan lopulla kehitettiin menetelmä, joka mahdollistaa keskenään kohtisuoralle akselille piirrettyjen lukujen samanaikaisen laskennan. Vaaka-akselilla olevia lukuja kutsuttiin todellisiksi ja pystyakselin lukuja imaginaarisiksi. Näitä lukuja laskettaessa reaalilukuihin lisätään kerroin ± 1 ja imaginaarilukuihin ± j (lue "xi"). Reaali- ja imaginaariosista koostuvia lukuja kutsutaan monimutkainen, ja heidän avullaan suoritettu laskutapa on symbolinen.

Selitetään termi "symbolinen". Laskettavat funktiot (tässä tapauksessa harmoniset) ovat alkuperäisiä, ja alkuperäiset korvaavat lausekkeet ovat kuvia tai symboleja.

Symbolista menetelmää käytettäessä kaikkia laskelmia ei suoriteta itse alkuperäisille, vaan niiden symboleille (kuville), jotka tässä tapauksessa edustavat vastaavia kompleksilukuja, koska on paljon helpompi suorittaa toimintoja kuville kuin itse alkuperäisille.

Kun kaikki kuvatoimenpiteet on suoritettu, tuloksena olevaa kuvaa vastaava alkuperäinen tallennetaan tuloksena olevaan kuvaan. Suurin osa sähköpiirien laskelmista tehdään symbolisella menetelmällä.